坐标系间的欧式变换

• 两个坐标系之间的运动由一个旋转加上一个平移组成，这种运动成为刚体运动。
• 刚体运动过程中，同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化。

旋转操作

对一个向量旋转本质是对基底的旋转。

设某个单位正交基 $(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)$ 是由 $(\boldsymbol{e}’_1, \boldsymbol{e}’_2, \boldsymbol{e}’_3)$ 经过一次旋转变成的。

对于同一个向量 $\boldsymbol{a}$，它在两个坐标系下的坐标分别为 $[a_1, a_2, a_3]$ 和 $[a’_1, a’_2, a’_3]$

由于向量本身没变，所以根据坐标定义，有

$$\left[\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\right]\left[\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right]=\left[\boldsymbol{e}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{e}_{2}^{\prime}, \boldsymbol{e}_{3}^{\prime}\right]\left[\begin{array}{c} a_{1}^{\prime} \\ a_{2}^{\prime} \\ a_{3}^{\prime} \end{array}\right]$$

如果关注两个坐标之间的关系，且由于 $(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)$ 是一组单位正交基，可以两边同时左乘一个 $\left [\matrix{\boldsymbol{e}_1^{\mathrm{T}} \ \boldsymbol{e}_2^{\mathrm{T}} \ \boldsymbol{e}_3^{\mathrm{T}}} \right ]$ 来消掉 $[\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3]$。

$$\left[\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} \boldsymbol{e}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{1}^{\prime} & \boldsymbol{e}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{2}^{\prime} & \boldsymbol{e}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{3}^{\prime} \\ \boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{1}^{\prime} & \boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{2}^{\prime} & \boldsymbol{e}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{3}^{\prime} \\ \boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{1}^{\prime} & \boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{2}^{\prime} & \boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}_{3}^{\prime} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a_{1}^{\prime} \\ a_{2}^{\prime} \\ a_{3}^{\prime} \end{array}\right] \stackrel{\text { def }}{=} \boldsymbol{R} \boldsymbol{a}^{\prime}$$

然后我们将中间的那一坨定义为旋转矩阵 $\boldsymbol{R}$。

旋转矩阵的性质

• 旋转矩阵描述了旋转本身。
• 旋转矩阵是一个正交矩阵，即 $\boldsymbol{R}^{-1} = \boldsymbol{R}^{\mathrm{T}}$.
• 旋转矩阵的行列式为 $1$。
• 行列式为 $1$ 的正交矩阵是一个旋转矩阵。
• 旋转矩阵的逆（或转置）描述了相反的旋转。

平移操作

加上一个平移向量 $\boldsymbol{t}$ 即可实现。即 $\boldsymbol{a}^{\prime} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{t}$ .

变换矩阵

一次欧式变换可以由一次旋转操作和一次平移操作完成，即 $\boldsymbol{a}^{\prime} = \boldsymbol{Ra} + \boldsymbol{t}$ .

但是如果要表示连续的多次欧式变换，这样又乘又加效率会很低，并且会很啰嗦。

于是就引入了变换矩阵 $\boldsymbol{T}$，有

$$\begin{bmatrix}a'\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R&t\\\mathbf{0}^\mathrm{T}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}\stackrel{\mathrm{def}}{=}T\begin{bmatrix}a\\1\end{bmatrix}$$

在此引入了齐次坐标系的概念。详见 BV1vi421Y7nP 及 BV1LS4y1b7xZ .

引入这个变换矩阵后，一次欧式变换就可以用通过左乘一个变换矩阵 $\boldsymbol{T}$ 来实现。

变换矩阵 $\boldsymbol{T}$ 的逆 $\boldsymbol{T}^{-1}$ 表示一个相反的变换。

$$\boldsymbol{T}^{-1}= \begin{bmatrix}\boldsymbol{R}^\mathrm{T} & -\boldsymbol{R}^\mathrm{T}\boldsymbol{t} \\ 0^\mathrm{T} & 1 \end{bmatrix}$$