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题意简述
有一个长度为 $n$ 的序列 $a$ 。如果对于 $\forall i , j , k\in[1,n] $ ，$\exist a_i+a_j+a_k \in a$ ，那么称这个序列为 “3SUM-closed”
给出序列 $a$ ，问这个序列是否为 “3SUM-closed”
题目分析
我是通过不断寻找反例来逐渐缩小判断的条件范围的。
首先考虑 $n$ 最少的情况 ：$n=4$ 时：
- 我们令前三个数分别为 $1,2,3$ ，那么显而易见的是，为了达到 “3SUM-closed” ，不得不向序列不断添加当前序列的任意三项和，这个序列是无尽的（全负同理），所以可以知道， 序列元素全正或全负，序列不是 3SUM-closed 。
- 那么如果序列减少一些正元素的数量呢？可以想到，当序列中存在三个及以上的正数（负数同理）时，就会因为它们可以不断累加而使序列无尽。所以，序列最多同时存在 2 个正数（负数）。
- 那么如果在三项中有一个负数来制约序列，使序列被“拉住”而不会无尽拓展呢？可以尝试令前三个数分别为 $1,2,-1$ ，似乎这种情况是可行的，但是如果我们换一种情况，$1,2,-4$ ，那么序列就会因为正数和小于负数而使序列向负方向无限拓展。
- 再回头去看 $1,2,-1$ 这种情况为什么可行：当存在正数与负数可以互相抵消时，序列可以是 3SUM-closed。
- 那么只要正数与负数可以互相抵消，这个序列就是 3SUM-closed 吗？显然不是。比如 $1,1,2,-1,-1$ 就不行，因为 $1,1,2$ 违反了第 2 条规律。
在以上五条规律的基础上，我们稍微整合一下可以得到如下结论：
序列中最多存在两个正数，两个负数和若干个0。
而这若干个 0 ，实际上对序列的影响可以等效为 2 个 0。
所以我们实际上可以通过以上结论先过滤一遍，过滤后得到的序列可以直接暴力验证（因为最多可以等效为一个 $n=6$ 的序列）。
参考代码
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| #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N;
bool flg;
int hasZero;
int zNum;
int fNum;
int A[20];
map <int, bool> M;
int main() {
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
flg = true;
zNum = fNum = 0;
int cnt = 0;
hasZero = false;
M.clear();
memset(A, 0, sizeof(A));
scanf("%d", &N);
for (int i = 1; i <= N; i++) {
int t;
scanf("%d", &t);
if (!flg) continue;
if (t > 0) {
++zNum;
A[++cnt] = t;
} else if (t < 0) {
++fNum;
A[++cnt] = t;
} else hasZero++;
if (zNum > 2 || fNum > 2) flg = false;
}
if (!flg) {
printf("No\n");
continue;
}
cnt += min(hasZero, 2);
for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
M[A[i]] = true;
}
for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
for (int j = i + 1; j <= cnt; j++) {
for (int r = j + 1; r <= cnt; r++) {
if (!M.count(A[i] + A[j] + A[r])) {
flg = false;
goto QwQ;
}
}
}
}
QwQ:;
printf("%s\n", flg ? "Yes" : "No");
}
return 0;
}
|